PROPOSISI
Proposisi adalah istilah yang
digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat
dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya,
proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau
salah.
Dalam ilmu logika, proposisi mempunyai tiga unsur
yakni:
Subyek, perkara yang disebutkan adalah terdiri dari orang,
benda, tempat, atau perkara.
Predikat adalah perkara yang dinyatakan dalam subjek.
Kopula adalah kata yang menghubungkan subjek dan predikat.
A. KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI
Di dalam matematika, tidak semua
kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah
saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi
(preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif
yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus
keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya (truth value).
B. PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN
Nilai kebenaran dari proposisi
majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara
mereka dihubungkan oleh operator logika.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya
benar, selain itu nilainya salah
Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya
salah, selain itu nilainya benar
Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan
sebaliknya
C. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk
yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan
Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan
Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan
tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut
Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan
dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari
tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi
yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa
memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah
suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara
pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai
F atau salah maka disebut kontradiksi,
dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
D. EKIVALEN LOGIKA
Dua atau lebih pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “
dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk
itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
E. ALJABAR PROPOSISI
Hukum-Hukum Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling
ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya.
Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:
a. Hukum Idempoten (Idem)
p∨p
ek p
p∧p
ek p
b. Hukum Asosiatif (As)
(p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
(p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
c. Hukum
Komutatif (Kom)
p∨q
ek q∨p
p∧q
ek q∧p
d. Hukum Distributif (Dist)
p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
e. Hukum Identitas (Id)
p∨F
ek p
p∨T
ek T
p∧F
ek F
p∧T
ek p
f. Hukum Komplemen (Komp)
p∨∼p
ek T
p∧∼p
ek F
∼(∼p) ek p
∼T ek F
g. Hukum Transposisi (Trans)
p⇒q
ek ∼q⇒∼p
h. Hukum Implikasi (Imp)
p⇒q
ek ∼p∨q
i. Hukum Ekivalensi (Eki)
p⇔q
ek (p⇒q)∧(q⇒p)
p⇔q
ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
j. Hukum Eksportasi (Eksp)
·(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
k. Hukum De Morgan (DM)
∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
F. IMPLIKASI LOGIKA
“jika Andi rajin belajar maka Andi
naik kelas”
Jika pada kenyataannya Andi rajin
belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik
kelas.
Misal
p: Andi rajin belajar
q: Andi naik kelas
maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.
G. FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN
KEBENARAN
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang
mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek).
Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D,
P(x) adalah proposisi.
Contoh :
Misalkan P(n) adalah pernyataan, n
adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P
adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n
di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai
benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1
adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah
bilangan ganjil bernilai salah.
Fungsi proposisi “x+2>7” yang
didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7}
= {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
H. PENGUKUR JUMLAH UNIVERSAL
Misalkan A sebuah penyataan, dan x
menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar
untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA.
∀x disebut pengukur jumlah universal (universal
quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah
tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur
jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.
I. NEGASI INGKARAN
Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah
suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai
nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
REFERENSI:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar